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群

文章部分摘自：https://oiwiki.org/math/group-theory/

群 - Group

群（group）是由一种集合以及一个二元运算所组成的，符合「群公理」的代数结构。

一个群是一个集合 \(G\) 加上对 \(G\) 的二元运算。二元运算用. 表示，它结合了任意两个元素 \(a\) 和 \(b\) 形成了一个属于 \(G\) 的元素，记为 \(a \cdot b\) 。

群公理

群公理包含下述四个性质（有时略去封闭性，只有三个性质）。若集合 \(G \neq \varnothing\) 和 \(G\) 上的运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((G, \cdot)\) 满足以下性质:

群公理

  1. 封闭性: 对于所有 \(G\) 中 \(a, b\) ，运算 \(a \cdot b\) 的结果也在 \(\mathrm{G}\) 中。
  2. 结合律 (associativity)：对于 \(G\) 中所有的 \(a, b, c\) ，等式 \((a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c)\) 成立。
  3. 单位元 (identity element，也称幺元) : \(G\) 中存在一个元素 \(e\) ，使得对于 \(G\) 中的每一个元素 \(a\) ，都有一个 \(e \cdot a=a \cdot e=a\) 成立。这样的元素是独一无二的。它被称为群的单位元。
  4. 逆元 (inverse element)：对于每个 \(G\) 中的 \(a\) ，总存在 \(G\) 中的一个元素 \(b\) 使 \(a \cdot b=b \cdot a=e\) ，此处 \(e\) 为单位元，称 \(b\) 为 \(a\) 的逆元，记为 \(a^{-1}\) 。

则称 \((G, \cdot)\) 为一个群。例如，整数集和整数间的加法 \((\mathbb{Z},+)\) 构成一个群，单位元是 0 ，一个整数的逆元是它的相反数。

群的衍生结构

  • 若代数结构 \((G, \cdot)\) 满足封闭性、结合律性质，则称 \((G, \cdot)\) 为一个半群 (semigroup)。
  • 若半群 \((G, \cdot)\) 还满足单位元性质，则称 \((G, \cdot)\) 为一个幺半群 (monoid)。
  • 若群 \((G, \cdot)\) 还满足 交换律 (commutativity)：对于 \(G\) 中所有的 \(a, b\) ，等式 \(a \cdot b=b \cdot a\) 成立。则称 \((G, \cdot)\) 为一个 阿贝尔群 (Abelian group)，又称 交换群 (commutative group)。

阿贝尔群

常见有加法群和乘法群

  • Additive Group: binary operation + ; identity 0
    • Example: \((\mathbb{Z},+),(n \mathbb{Z},+),(\mathbb{Q},+),\left(\mathbb{Z}_n,+\right)\)
  • Multiplicative Group: binary operation \(\cdot ;\) identity \(1 / /\left(\mathbb{Z}_n^*, \cdot\right)\)
    • Example: \(\left(\mathbb{Q}^*, \times\right),(\{ \pm 1\}, \times),\left(\mathbb{Z}_n^*, \cdot\right)\)

\(\mathbb{Z}_{n}^*\) 群

  • \(\mathbb{Z}_{n}^*\) 为交换（阿贝尔）群

\(\mathbb{Z}_n^*\) is an Abelian group for any integer \(n>1\).

  • Closure: \(\forall[a]_n,[b]_n \in \mathbb{Z}_n^*,[a]_n \cdot[b]_n=[a b]_n \in \mathbb{Z}_n^*\)
  • Associative: \(\forall[a]_n,[b]_n,[c]_n \in \mathbb{Z}_n^*,[a]_n \cdot\left([b]_n \cdot[c]_n\right)=[a b c]_n=\left([a]_n \cdot[b]_n\right) \cdot[c]_n\)
  • Identity element: \(\exists[1]_n \in \mathbb{Z}_n^*, \forall[a]_n \in \mathbb{Z}_n^*,[a]_n \cdot[1]_n=[1]_n \cdot[a]_n=[a]_n\)
  • Inverse: \(\forall[a]_n \in \mathbb{Z}_n^*, \exists[s]_n \in \mathbb{Z}_n^*\) such that \([a]_n \cdot[s]_n=[s]_n \cdot[a]_n=[1]_n\)
  • Commutative: \(\forall[a]_n,[b]_n \in \mathbb{Z}_n^*,[a]_n \cdot[b]_n=[a b]_n=[b a]_n=[b]_n \cdot[a]_n\)

环* - Ring

环是域的基础，故在此放上

Ring

形式上，环 (ring) 是一个集合 \(R\) 及对 \(R\) 的两个二元运算：加法 + 和乘法. (注意这里不是我们一般所熟知的四则运算加法和乘法) 所组成的，且满足如下性质的代数结构 \((R,+, \cdot)\) : 1. \((R,+)\) 构成交换群，其单位元记为 \(0 ， R\) 中元素 \(a\) 的加法逆元记为 \(-a_0\) - 封闭+结合+单位+逆元+交换 2. \((R, \cdot)\) 构成半群。 - 封闭+结合 3. 分配律 (distributivity)：对于 \(R\) 中所有的 \(a, b, c\) ，等式 \(a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c\) 和 \((a+b) \cdot c=a \cdot c+b \cdot c\) 成立。

环的衍生结构

  • 若环 \(R\) 上的乘法还满足交换律，则称 \(R\) 为 交换环 (commutative ring)。
  • 若环 \(R\) 存在乘法单位元 1 ，则称 \(R\) 为 幺环 (ring with identity)。
  • 若么环 \(R\) 的所有非 0 元素 \(a\) 存在乘法逆元 \(a^{-1}\) ，则称 \(R\) 为 除环 (division ring)。

域 - Field

域（field）是一个比环性质更强的代数结构，具体地，域是交换除环。

Field

域 是一个集合 \(\mathbb{F}\) 与两个二元运算符 \(+\), \(\cdot\) 且满足如下性质

  • \(\mathbb{F}\) 对 \(+\) 为交换群
  • \(\mathbb{F} \backslash 0\) 对 \(\cdot\) 为 交换群
  • 分配律 (Distributivity)：\(\forall a, b, c \in \mathbb{F}, a \cdot(b+c)=a b+a c\)

加法单位元 \(0\), 乘法单位元 \(1\)

例如： - \((\mathbb{R},\) \(+,\) \(\cdot)\) - \((\mathbb{Z}_{p},\) \(+,\) \(\cdot)\) 其中 \(p\) 是质数，且 - \(+,\) \(\cdot\) 均为剩余类计算

有限域 - Finite field

Finite field

含有有限个元素

\(\mathbb{Z}_{p}\) 上的多项式

群的基本概念

阶 - Order

Order

群的阶：群 \(G\) 的阶是它元素的个数，记作 \(\operatorname{ord}(G)\) 或 \(|G|\) ，无限群有无限阶。

群内元素的阶：群 \(G\) 内的一个元素 \(a\) 的阶是使 \(a^m=e\) 成立的最小正整数 \(m\) ，记作 \(\operatorname{ord}(a)\) 或 \(|a|\) ，等于 \(\operatorname{ord}(\langle a\rangle)\) 。若这个数不存在，则称 \(a\) 有无限阶。有限群的所有元素都有有限阶。

例如：\(\left|\mathbb{Z}_n\right|=n,\left|\mathbb{Z}_p^*\right|=p-1,|\mathbb{Z}|=\infty\)

Determine the orders of all elements of \(\mathbb{Z}_7^*\) and \(\mathbb{Z}_6\) - \(\mathbb{Z}_7^*=\{1,2,3,4,5,6\},\) \(o(1)=1 ; o(2)=o(4)=3 ; o(3)=o(5)=6 ; o(6)=2\) - \(\mathbb{Z}_6=\{0,1,2,3,4,5\},\) \(o(0)=1, o(1)=o(5)=6, o(2)=o(4)=3, o(3)=2\)

群中任意元素的阶一定整除群的阶（拉格朗日定理推出）

  • Let \(G\) be a multiplicative Abelian group of order \(m\). Then for any \(a \in G, a^m=1\).
    乘法交换群中 \(e=1\)

子群 - Subgroup

Subgroup

群 \((G, \cdot),(H, \cdot)\) ，满足 \(H \subseteq G\) ，则 \((H, \cdot)\) 是 \((G, \cdot)\) 的子群。

子群 是包含在更大的群 \(G\) 内的一个群 \(H_{\text {。 }}\) 它具有 \(G\) 的元素的子集和相同操作。这意味着 \(G\) 的单位元素必须包含在 \(H\) 中，并且每当 \(h_1\) 和 \(h_2\) 都在 \(H\) 中，那么 \(h_1 \cdot h_2\) 和 \(h_1^{-1}\) 也在 \(H\) 中。所以 \(H\)中的元素，和在 \(G\) 上的限制为 \(H\) 的群操作，形成了一个群体。

即，若 \((G, \cdot)\) 是群， \(H\) 是 \(G\) 的非空子集，且 \((H, \cdot)\) 也是群，则称 \((H, \cdot)\) 是 \((G, \cdot)\) 的 子群。

子群检验法

子群检验法（subgroup test）是群 \(G\) 的子集 \(H\) 是子群的充分必要条件：

对于所有元素 \(g, h \in H\) ， \(g^{-1} \cdot h \in H_{\text {。 }}\)

例如： - 对于乘法：\(G=\mathbb{Z}_6^*=\{1,5\}, H=\{1\}\) - 对于加法：\(G=\mathbb{Z}_6=\{0,1,2,3,4,5\} ; H=\{0,2,4\}\)

Let \((G, \cdot)\) be an Abelian group. Let \(\langle g\rangle=\left\{g^k: k \in \mathbb{Z}\right\}\) be a subset of \(G\), where \(g \in G\). Then \(\langle g\rangle \leq G\).

循环群 - Cyclic group

Cyclic group

循环群 (cyclic group，记作 \(C_n\) ) 是最简单的群。群 \(G\) 中任意一个元素 \(a\) 都可以表示为 \(a=g^k\) ，其中 \(k\) 为整数。
（或 \(\exists g \in G \implies G= \left< g \right>\)） - 称 \(g\) 为群 \(G\) 的生成元 (generator)。

  • 例如：\(\mathbb{Z}_{10}^*=\left\{[1]_{10},[3]_{10},[7]_{10},[9]_{10}\right\}=\left\langle[3]_{10}\right\rangle\)
    • \(g=[3]_{10}\)
    • \(g^0=[1]_{10}, g^1=[3]_{10}, g^2=[9]_{10}, g^3=[27]_{10}=[7]_{10}\)

生成元 \(g\) 的阶就是群 \(G\) 的阶

\(\mathbb{Z}_{p}^{*}\) (\(p\) 为质数) 是循环群