写在前面：

Tips

• 注意讨论分母是否为0
• 注意讨论极限是否存在
• 适当讨论是否为0可以化简/求出部分
• 极限差为0而商不一定为1（\(a=0\)不行，\(a\ne0\)为1（国科大讲义P3）

Contents

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奇奇怪怪但是很重要的东西

数列重要极限

\(\lim C=C\)

\(\lim \dfrac1{n^{k}}=0,k>0\)

\(\lim q^{n}=0,|q|<1\)

\(\lim \sqrt[n]a=1,a>0\)

\(\lim \dfrac {a^{n}}{n!}=0\)

\(\lim \sqrt[n] n=1\)

证明见二项式定理

函数重要极限

• \(\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})\) 连续
• \(\lim\limits_{x\to 0}a^{x}=1\) 教材P38 注意左右极限相等
• \(\lim\limits_{x\to x_{0}}a^{x}=a^{x_{0}}\)
• \(\lim\limits_{x\to x_{0}}\ln x = \ln x_{0}\)（其他底数可以使用换底公式）
• \(\lim\limits_{\square\to 0}\dfrac{\sin\square}{\square}=1,\ \lim\limits_{\square\to \infty}\dfrac{\sin\square}{\square}=0\)（利用 \(\cos x<\dfrac{\sin x}x<1\)）
• \(\lim\limits_{x\to 0}(x)\sin(\square)=0\) 夹逼定理
• \(\lim\limits_{\square\to\infty}(1+\dfrac1\square)^{\square}=e,\ \lim\limits_{\square\to 0}(1+\square)^\frac1{\square}=e\)
  （利用\(\left(1+\frac1{[x]+1}\right)^{[x]}<(1+\dfrac1x)^{x}<\left(1+\frac1{[x]}\right)^{[x]+1}\dots[x] \leq x <[x]+1\)）

函数等价无穷小

\(x\to0\begin{cases}x\sim\sin x\sim \tan x\sim \ln(1+x)\sim e^{x}-1\\1-\cos x\sim \frac12x^{2}\\x^{2}±x^{3}\sim x^{2}\\(1+x)^{\alpha}\sim1+\alpha x\\\arctan x \sim x\end{cases}\)

如：看到\(\sqrt{1+x^{2}}-1\sim \frac{1}{2} x^2\)

\(x\to0\) 次数高=作用小

\(x\to\infty\begin{cases}x^{2}+x^{3}\sim x^{3}\\\end{cases}\)

基本导数表

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奇奇怪怪的公式

二项式定理

\(\lim \sqrt[n]{n}=1\quad(n>1)\)

和差化积

Tip

和差化积

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积化和差

绝对值不等式

\[ |a+b|\leq |a|+|b|,\ 当a,b同号 \]

推广：

\[ |a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}|\leq|a_1|+\dots|a_{n}|,\ 当a_{i}同号 \]

\[ ||a|-|b|| \leq |a-b| \leq |a| + |b| \]

即

\[ |两边之差| \leq 第三边 \leq 两边之和 \]

两边之差小于第三边 + 两边之和大于第三边

伯努利不等式、均值不等式

\(Bernoulli\) 不等式

\[ (1+x)^n\geq1+nx $$ ### [均值不等式](%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F.md)（AGH不等式） G：最适用于 不全相同但接近 $$ \begin{align*} \dfrac{n}{\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_{n}}}\leq \sqrt[n]{x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n}} \leq \dfrac{x_{1}+x_{2} + x_{3} \cdots x_{n}}{n}\\\\ 其中等号当且仅当x_{1}=x_{2}=x_{3}=\cdots=x_{n}成立 \end{align*} \]

例题4：\(设 e_{n}=(1+\dfrac1n)^{n}.\ 证明数列\{e_{n}\}单调递增且e_n<4.\) 证明： ^1e9a3c $$ \begin{align} e_{n}&=(1+\frac1n)(1+\frac1n)\cdots(1+\frac1n)\cdot1\ &<\left( \dfrac{n(1+\frac1n)+1}{n+1} \right)^{n+1}\ &=\left(\dfrac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\ &=\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}\ &=e_{n+1}\ \ e_{n}&=4\left[ \left( 1+\dfrac{1}{n}\right) \left( 1+\dfrac{1}{n}\right) \ldots \left( 1 + \dfrac{1}{n}\right) \cdot \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\right] \ &<4\left( \dfrac{n\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) +\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}{n+2}\right) ^{n+2}\ &=4\ \end{align} $$

\(e\)的泰勒展开

\(\lim\limits_{n\to \infty}n\sin(2\pi n! e)=?\)

解： 由泰勒公式：\(e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{(n+1)!}+\frac{\theta_{n+1}}{(n+1)!(n+1)}\;(0<\theta_{n+1}<1)\)

\([n!e=\smash{\underbrace{n!\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)}_{\text{整数部分舍弃}}+\frac{n!}{(n+1)!}}+\frac{n!\theta_{n+1}}{(n+1)!(n+1)}]\) \(\begin{align*} \lim_{n\to\infty}n\sin(2\pi en!)&=\lim_{n\to\infty}n\sin\bigg[2\pi en!-\overbrace{2\pi n!\Big(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\Big)}^{\sin(x\pm2k\pi)=\sin x\,,\;k\in\mathbb{Z}}\bigg]\\ &=\lim_{n\to\infty}n\sin\left[\frac{2\pi}{n+1}+\frac{\theta_{n+1}}{(n+1)^2}\right]\\ &=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{2\pi}{n+1}+\frac{\theta_{n+1}}{(n+1)^2}\right)\\&=2\pi \end{align*}\)

奇奇怪怪的证明

极限与无穷小的转化

Example

若\(\lim a_{n}=a,\ \lim b_{n}=b\), 试证明: \(\lim\dfrac{a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\dots+a_{n}b_{1}}{n}=ab\)

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极限与无穷小的转化 + Cauchy第一定理 证:

^13b407

收敛数列保号性

极限除法

epsilon-N定义 + 收敛数列保号性

证明： \(\exists N_1\in\mathbb{N},\)

\(使得\forall n>N_{1},\ |b_{n}|>\dfrac{|b|}2\) 收敛数列保号性

\(\because \lim a_{n}=a\)

\(\therefore \forall \varepsilon>0,\ \exists N_{2}\in\mathbb{N},\ \forall n>N_{2},\)

\(使得|a_{n}-a|<\color{blue}\dfrac{|b|}4\varepsilon\dots(*)\)

\(类似地,\ \exists N_{3}\in\mathbb{N},\ \forall n>N_{3},\)

\(使得|b_{n}-b|<\color{blue}\dfrac{b^2}{4|a|+1}\varepsilon\cdots(**)\)

\(欲证\left|\dfrac {a_{n}}{b_{n}}-\dfrac ab\right|<\varepsilon\)

\(=\dfrac{|ba_{n}-ab_{n}|}{|b\cdot b_{n}}\)

\(=\dfrac{|a_{n}b\textcolor{red}{-ab+ab}-ab_{n}|}{|b\cdot b_{n}|}\) 分子拆分

\(\leq \dfrac {|b||a_{n}-a|+|a||b_{n}-b|}{|b\cdot b_{n}|}\)

\(=\dfrac{|a_{n}-a}{|b_{n}|}+\dfrac{|a|}{|b\cdot b_{n}|}\)

运用 收敛数列保号性\(|b_{n}|>\dfrac</b> b2\) \(<\dfrac2{|b|}|a_{n}-a|+\dfrac{2|a|}{b^2}|b_{n}-b|\)

\(<\dfrac2{|b|}\textcolor{blue}{\dfrac{|b|}4\varepsilon^{(*)}}+\dfrac{2|a|}{b^2}\textcolor{blue}{\dfrac{b^2}{4|a|\textcolor{lime}{+1}}^{(**)}}\) \(\textcolor{lime}{避免分类讨论}\)

\(< \varepsilon\)

开方

\(\lim a_{n}^{m}=a^{m},\ (a>0,m\in\mathbb{N}_{+})\)

证明： \(|\sqrt[3] {a_{n}}-\sqrt[3] a|=\dfrac{|a_{n}-a|}{\sqrt[3]{a_{n}}+\sqrt[3] a}\)\(<\dfrac{|a_{n}-a|}{a_{n}^\frac23+a_{n}^\frac13a^\frac13+a^\frac23}<\dfrac{|a_{n}-a|}{a^\frac23}\)

\(a_{n}^\frac13a^\frac13\)可以存在运用了 收敛数列保号性

More about: 次方差展开

次方差展开

^6bb0cf

\(\begin{aligned} a^n-b^n &=(a-b)\sum_{i=0}^{n-1}{a^ib^{n-1-i}}\\ &=(a-b)(b^{n-1}+ab^{n-2}+a^2b^{n-3}+\cdots+a^{n-3}b^{2}+a^{n-2}b+a^{n-1})\\ &=(a-b)(a^{0}b^{n-1}+a^{1}b^{n-2}+\cdots+a^{n-2}b^{1}+a^{n-1}b^{0})\\ \end{aligned}\)

证明：

\(\begin{aligned} a^n-b^n &=b^n\Big[(\frac{a}{b})^n-1\Big]\\ &=b^n\Big(\frac{a}{b}-1\Big)\sum_{i=0}^{n-1}{(\frac{a}{b})^i}=\Big(\frac{a-b}{b}\Big)b^n\sum_{i=0}^{n-1}{(\frac{a}{b})^i}\\ &=(a-b)\cdot b^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}{(\frac{a}{b})^i}=(a-b)\sum_{i=0}^{n-1}{b^{n-1}(\frac{a}{b})^i}\\ &=(a-b)\sum_{i=0}^{n-1}{a^ib^{n-1-i}}\\ \end{aligned}\) ^4e250d

实数公理 -> 确界原理

\[ \begin{align*} &令\ Y=\{y|y \geq x, \forall x \in X\}\\ &\quad 则\ M \in Y,\ 且\forall x \in X,\ y\in Y\ 有x \leq Y\\ &运用实数公理:\\ &\quad\exists\ a \in \mathbb{R}\\ &\quad使\ \forall x \in X,\ y\in Y,\ 有\\ &\quad x \leq a \leq y&(\Delta)\\ &下证:\ a=\sup X\\ &\quad\forall x \in X,\ x \leq a&①上界\\ &\quad\forall \varepsilon > 0,\ a-\varepsilon<a\\ &\quad\because a-\varepsilon <a \leq \forall y\\ &\quad\therefore a-\varepsilon \not\in y\\ &\quad\therefore a-\varepsilon不为X上界\\ &\quad\therefore \forall \varepsilon>0,\ \exists x_\varepsilon \in X,\ 使得\ a-\varepsilon<x_\varepsilon&②最小 \end{align*} \]

调和级数

思路： 基本列 中 \(p\)，\(\varepsilon\) 的任意性 + 放缩 + Cauchy收敛准则

单调数列+发散=>发散到正无穷

和差化积 + 极限

例题：证明 \(\lim\limits_{x \to x_{0}}\cos x=\cos x_{0}\)

证： $$ \begin{aligned}\left| \cos x-\cos x_{0}\right| &=\left| -2\times \sin \dfrac{x-x_{0}}{2}\times \sin \dfrac{x+x_{0}}{2}\right| \ &\leq 2\times \left| \sin \dfrac{x-x_{0}}{2}\right| \ &\leq 2\times \left| \dfrac{x-x_{0}}{2}\right| \ &=\left| x-x_{0}\right|<\varepsilon \end{aligned} $$

\(\therefore \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0:\ |x-x_{0}|<\delta\Rightarrow\cdots\)

\(e\) \(\gamma\)

构造辅助函数

证明方程\(x\ln x=1在(0,+\infty)上有且仅有一根\) 即：\(x\ln x-1 = 0\)有解 简证： 存在性： 零值定理 1，e 唯一性： \(\Rightarrow\ln x-\dfrac1x\)单调！ 下略

任何奇次多项式至少有一个实零点

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奇奇怪怪的方法

如何证明数列收敛

单调有界定理

子数列归并性定理

Cauchy收敛准则

如何求解数列极限

简化证明

epsilon-N定义

Stolz定理

Cauchy定理

算数平均

几何平均

连乘

夹逼定理

见下

如何证明函数极限存在

Heine归并定理

单调函数单侧极限定理

Cauchy判别准则

如何求解函数极限

夹逼定理

见下

幂指函数

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Example

\(\lim\limits_{x → 0} [\frac{a_1^x + a_2^x + .....+ a_n^x}{n}]^{\frac{1}{x}} = (a_1\cdot a_{2}\dots a_n)^{\frac{1}{n}}\)

e的转化

解： \(L:=\lim\limits_{x\to0}e^{\tfrac{\ln(a_1^x+\dots+a_n^x)-\ln n}{x}}\) \(=e^{\lim\limits_{x\to0}\tfrac{\ln(a_1^x+\dots+a_n^x)-\log n}{x}}\)

法一： LHospital法则 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(a_1^x+\dots+a_n^x)-\ln n}{x}\) \(=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\ln(\dots))'}1\) \(=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{a_1^x\log a_1+\dots+a_n^x\log a_n}{a_1^x+\dots+a_n^x}\) \(=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln a_{1}+\ln a_{2}+\dots+\ln a_{n}}n\) \(=\) Therefore, \(L=e^{\tfrac1n\ln(a_{1}\cdot a_{2}\dots a_{n})}\) \(\quad=(a_{1}\cdot a_{2}\dots a_{n})^{\frac 1n}\)

法二：

想不到的放缩与 夹逼定理

夹逼定理的规范使用

• 写出不等式
• 判断敛散性
• 带入\(\lim\)符号

不能对极限直接比较大小

• \(\left(1+\dfrac1{n+2}\right)^{n}\leq \left(1+\dfrac1n-\dfrac1{n^{2}}\right)^{n}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n},\) \(n \geq 2\)
  • \(\Rightarrow \left(1+\dfrac1n-\dfrac1{n^{2}}\right)^{n}\to e\)
• \(\sqrt[n]{n!} \geq \dfrac ne\)
  • Taylor: \(e^{n}=1+n+\dfrac {n^{2}}{2!}+\dots+\dfrac{n^{n} }{n!}\geq\dfrac{n^{n}}{n!}\)

奇奇怪怪

又神秘的东西

如何定义一个开集

\[\begin{align*} 我们称x为集合A的一个内点\\ \exists \delta > 0, C(x,\delta)\subset A\quad(O(x,\delta)\overset{\Delta}{=}\left\{y\;|\;||x-y||<\delta\right\})\\ 开集合：只含有内点的集合称为开集\\ [a,b]\\ a\in[a,b]\\ \forall \varepsilon>0, (a-\varepsilon,a+\varepsilon),\exists(a-\varepsilon,a)\not\subset[a,b]\\ \\\\ (0,1)\bigcup_{n=1}^\infty(0,\dfrac1n) \end{align*} \]

线性空间满足八条原则

什么是数域？

什么是拓扑空间？

\[ \begin{align*} 设X为一个集合,F为x的幂集的子集（所有子集的集合）\\ 若：\\ \not o \in F, x \in F\\ 对于任意的U,V\in F,都有U\cap V \in F\\ \forall U_\alpha \in F, \alpha \in I,其中I为指标集,都有\bigcup_{\alpha\in I}U_{\alpha}\in F\\ 则称F为一个拓扑空间 \end{align*} \]

势

\(1,2,3...\)：可以排序：可数、可列 \([0,1]\to\mathbb R\)：不可数、不可列

连续统假设

\([0,1]\to N_{0}\to2^{N_{0}}\)

Reference：《实变函数论》

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序结构：分析学

代数结构：代数学

拓扑结构：几何学

区域不变性

数分观点下的不动点

\(设f\in C[a,b],且f([a,b])\subset[a,b]则\) \(存在\xi\in[a,b],使得f(\xi)=\xi(即为[a,b]中的不动点)\)

Example

\(设f(x)在x处可微,\alpha_{n}<x_{0}<\beta_{n},\) \(\lim\limits_{n\to \infty}\alpha_{n}=\lim\limits_{n\to \infty}\beta_{n}=x_{0}\) \(证明:\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{f(\beta_{n})-f(\alpha_{n})}{\beta_{n}-\alpha_{n}}=f'(x_{0})\)

Solution:

添项 \(\(\begin{align*} \dfrac{f(\beta_{n})-f(\alpha_{n})}{\beta_{n}-\alpha_{n}}&=\dfrac{f(\beta_{n})-f(x_{0})+f(x_{0})-f(\alpha_{n})}{\beta_{n}-\alpha_{n}}\\ &=\dfrac{\beta_0-x_0}{\beta_n-\alpha_n}\dfrac{f(\beta_{n})-f(x_0)}{\beta_{n}-x_{0}}\\&\quad-\dfrac{f(\beta_{n})-f(\alpha_{n})}{\beta_{n}-\alpha_{n}}\dfrac{f(\beta_{n})-f(\alpha_{n})}{\beta_{n}-\alpha_{n}} \end{align*}\)\)

Example

\(设f(x),g(x),h(x)\in C[a,b]\cap D[a,b],试证\) \(存在\begin{vmatrix}f(a) & g(a) & h(a)\\f(b) & g(b) & h(b)\\ f'(\xi) & g'(\xi) & h'(\xi)\end{vmatrix}=0\)

Solution:

\(F(x):=\begin{vmatrix}f(a) & g(a) & h(a)\\f(b) & g(b) & h(b)\\ f(x) & g(x) & h(x)\end{vmatrix}\)

Example

\(\bigstar设f(x)在[a,b]上连续,且f(a)=f(b),证明:\) \(\(M(x)=\sup\limits_{a \leq t \leq x}f(t),~m(x)=\inf\limits_{a \leq t \leq x} f(t)\)\) \(在[a,b]上连续\)

一些常考 Theorem

需要掌握从实数公理推到每一个Th 以及Th之间互推！

1. Declekind分割原理
2. 确界限存在原理
3. 单调有界原理
4. 区间套定理
5. 有限覆盖定理
6. 聚点定理
7. 有界数列必有收敛子列
8. Cauchy收敛准则