Question
极限
性质
- 唯一： 收敛数列唯一性 极限唯一性
- 局部： 数列: 有限项不能改变数列的收敛性; 函数: \(x_{0}\) 点处收敛性只需考察 \(x_{0}\) 的邻域内
- 有界： 数列: 收敛数列有界性 收敛必有界; 函数: 局部有界性 \(x_{0}\) 点处收敛 ⇒ \(x_{0}\) 点附近有界
- 保序：
- 收敛数列保序性 \(\lim x_{n}=a,\ \lim y_{n}=b,a < b \;\Rightarrow\; x_{n} < y_{n}\)（\(n\)充分大时）
- 极限局部保序性
- 加强：保号性
- 收敛数列保号性
- \(b>0:y_{n}>k \cdot b>0\)（\(n\)充分大时）
- \(b<0:y_{n}<k \cdot b<0\)（\(n\)充分大时）
- \(\Rightarrow|y_{n}|>k\cdot |b| > 0\)
- 理解：\(y_{n}\) 与 \(0\) 的距离不能任意小
- ==适用于：==倒数取范围
- 极限局部保号性
- 收敛数列保号性
- 保四则运算 除法运算中分母极限不为0
收敛/发散的证明
Recall
数列/函数收敛的证明方法
- epsilon-N定义 epsilon-delta定义
- 数列: 单调有界定理
- Cauchy收敛准则 / Cauchy判别准则
- 夹逼定理
- Stolz定理 LHospital法则
- 数列: 比值判别法
数列/函数发散的证明方法
- epsilon-N定义 epsilon-delta定义
- 无界
- Cauchy收敛准则 / Cauchy判别准则
- 子数列归并性定理
BW定理
函数极限与数列极限的关系—— Cauchy判别准则 / Heine归并定理
\(\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=l \Leftrightarrow \forall x_{n}\to x_{0}(x_{n}\ne x_{0}),\lim\limits_{n\to +\infty}f(x_{n})=l.\)
\(l\) 可以是有限数，也可以是无穷
Heine归并定理 \(f(x)已知极限\Rightarrow f采样~有极限\) 在求数列极限时，若表达式明确，则可对其连续化。
\(自变量接近\Rightarrow 函数值接近\)
函数极限的相容性
\(\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=l,~\lim\limits_{t\to t_{0}}g(t)\xrightarrow{g(t)\ne x_{0},t\ne t_{0}}\lim\limits_{t\to }f(g(t))=l\)
概念区别
\(发散\supset无界\supset无穷大\)
连续
某点连续
性质
- 保邻近：（局部性质）\(\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})\)
- 换次序： 连续函数极限的穿越 \(\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=f(\lim\limits_{x\to x_{0}}x)\)
- 离散判别：\(对x_{n}\to x_{0}且x_{n}\ne x_{0},有\lim\limits_{n\to +\infty}f(x_{n})=f(x_{0})\)
- 左右连续：\(\lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0})=\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\)
- 保四则运算
- 保复合运算
- 极限与绝对值可交换：\(\lim\limits_{x\to x_{0}}|f(x)|=|\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)|\) 逆命题不成立
第一类间断点
左右极限都存在 - 可去间断点 \(\lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\ne f(x_{0})\) - 跳跃间断点 \(\lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\ne\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\)
第二类间断点
\(\lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x) \text{ or }\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\) 至少一个不存在
连续函数存在反函数的充要条件：严格递增
闭区间上的连续函数
性质
- 闭区间连续函数介值性
- 闭区间连续函数有界性
- 闭区间连续函数最值性 ：取到最大值、最小值；值域是闭区间
- 闭区间连续函数零值性
- 一致连续性
\(f\)在区间\(I\)上一致连续
注：给定\(\varepsilon>0,~对不同的x_{0},~\delta(\varepsilon,x_{0})可能不同\)
\(对任意 ε > 0, 一致由公共 δ 体现:\)
- 一致连续: \(公共 δ, 即 δ = δ(ε).\)
- 非一致连续: \(非公共 δ, 即 δ = δ(ε, x_{0})\)
等价命题
一致连续性/Cauchy判别准则形式
\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, 对 \forall x_{1}, x_{2}\in I, 当|x_{1}-x_{2}|<\delta时, 有|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon\)
一致连续性/极限表达形式
\(\lim\limits_{\delta\to 0^{+}} \sup|f(x_{1})-f(x_{2})|=0\cdots(\forall x_{1},x_{2}\in I, |x_{1}-x_{2}|<\delta)\)
连续与一致连续
一致连续：整体 连续：局部（逐点连续）
一致连续的判别
- 常用判别法： \(若 f 在区间 I 上可导, 则 f' 有界\xrightarrow[\text{Lipschitz}]{微分中值定理}f在I上一致连续\)
- 推广 1: \(若 f 在 [a, +∞] 上连续, 且对 ∀x_{0} > a, f' 在 [x_{0}, +\infty] 上有界,\) \(则 f 在 [a, +∞]上一致连续. (如 f (x) = \sqrt x 在 [0, +∞) 上一致连续)\)
- 推广 2: \(若 f 在 x_{0} 处连续,\) \(且对 ∀a > 0,\) \(f' 在 \mathbb R\backslash(x_{0} − a, x_{0} + a) 上有界, 则 f 在 \mathbb R 上一致收敛.\)
- 命题 2: \(f 在 [a, +∞] 上连续且 \lim\limits_{x\to \infty}f (x) 存在 ⇒ f 在 [a, +∞] 上一致连续.\)
- 命题 3: \(f 在 (a, b], [b, c) 上一致连续 ⇒ f 在 (a, c) 上一致连续.\)
- 命题 4: \(f, g 在 [a, +∞) 上有界且一致连续 ⇒ f g 在 [a, +∞) 上一致连续.\) 注意: 有界不能省略, 反例:\(f (x) = g(x) = x, x ∈ R^{+}\). 若把无穷区间换成有区间, 则有界可省略, 因为有穷区间的一致连续性包含有界.
- 命题 5: \(f 在 \mathbb R 上连续且 f 是周期函数 ⇒ f 在 \mathbb R 上一致连续.\)
一元微分学
导数
可导
- 定义：\(\lim\limits_{x\to x_{0}}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}:=f'(x_{0})存在且有限\)，局部概念（\(\dfrac00\)型极限）
- 等价定义：\(f'_{+}(x_{0}):=\lim\limits_{\Delta x\to 0^{+}}\dfrac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=\)\(\lim\limits_{\Delta x\to 0^{-}}\dfrac{f(x_0+\Delta x)}{\Delta x}:=f'_{-}(x_{0})\)
- \(f在x_{0}处可导\Rightarrow f在x_{0}处连续\)
自行回顾如下内容:
导数的四则运算 链式 (复合函数) 求导法则 反函数求导法则 所有初等函数的求导公式 用 Leibniz 法则计算高阶导数 幂指数型求导 隐函数求导 (微分) 参数方程表示函数的求导 (微分)
微分
可微
- 定义：\(\exists\lambda\in\mathbb R,使得f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=\lambda \Delta x=f'(x_{0})\Delta x\)
- \(\lambda=f'(x_{0})唯一\)
- \(\lambda \Delta x称为f在x_{0}处的微分,\) \(记为\mathrm d y:=\lambda \Delta x=f'(x_{0}) \Delta x\)
- 导数=微商：\(f'(x)=\dfrac{\mathrm d f(x)}{\mathrm d x}\)
- 分子分母有独立意义
- \(\mathrm d f\)是\(\mathrm d x\)的线性函数
- 在一元微分学中，可导\(\Leftrightarrow\)可微
- 一阶微分形式不变性
微分中值定理
自行回顾如下内容 (后三个定理都是考试常考点):
Fermat 定理 Rolle 定理 Cauchy 定理 Lagrange 定理 Darboux 定理